n维欧式空间的标准内积是指在n维欧式空间中，定义了一种满足一定性质的内积运算。具体定义如下：对于n维欧式空间中的两个向量x=(x1,x2,...,xn)和y=(y1,y2,...,yn)，它们的标准内积定义为：<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn其中，<x, y>表示向量x和向量y的内积。标准内积的定义是为了在n维欧式空间中引入一种内积运算，使得我们可以度量向量之间的夹角和长度。通过内积的定义，我们可以计算向量之间的夹角余弦、向量的长度以及判断向量是否正交等。标准内积的定义是欧式空间中的一种常见内积定义，它满足内积的基本性质，如对称性、线性性等。在实际应用中，标准内积可以用于定义向量的正交性、投影、距离等概念，进而应用于向量空间的正交分解、最小二乘法、信号处理等领域。此外，标准内积还可以推广到更一般的内积空间中，如希尔伯特空间，从而为更广泛的数学和物理问题提供了工具和方法。
欧式空间的定义:
1. 从一点向另一点可以引一条直线。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。
欧式空间一般指欧几里德空间 欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
线性空间是既满足加法和数乘封闭，有复合八大运算规则的集合，集合中的向量没有度量，即向量没有夹角，长度这个概念。而欧氏空间则是内积度量空间，向量有夹角，长度之分。可以说是特殊的线性空间。欧式空间是有限维的（也有参考书上说无限维内积空间也称为欧式空间），关于内积，就可以参考课本上内积的概念来对内积有一定的理解。
向量的内积”又称“向量的点乘”
设a，b向量，则两向量的内积为
a·b=|a|·|b|·cosα(α为两向量的夹角)
4.1 联系
如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间。内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即线性赋范空间，完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，线性赋范空间相当于定义了长度的空间，所有的线性赋范空间都是距离空间。
以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念-向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。
4.2 区别
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间。
线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是:范数‖.‖对于一切属于X的x，y，满足
‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2 (3-3)
上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式。
假设同胚,则各去掉一个点后也同胚.但1维欧式空间去掉一个点后不再连通,而n(>1)维欧式空间去掉一个点后仍然连通.矛盾. 一般地可以证明对任意m≠n有Rm和Rn不同胚,证明思想类似：Rm去掉一个点和Rn去掉一个点后分别同伦于(m-1)维球和(n-1)维球,两者的同调群/同伦群均不同.细节可以在任何一本代数拓扑书上找到
欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到几何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。另存在其他种类的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间
我不提供完全详细的步骤，只提供思路。其实很简单，要证明完备度量空间，关键是证明该空间内的任意柯西列收敛于该空间中某点。实数域是完备的，（即柯西列收敛于实数轴某点）那么Rn空间上的距离平方d²＝∑（xi-yi）²，如果有d（Xn，Xm）按照n，m趋于无穷大趋向于0，那么对应在每一个分量坐标上有X（i，n）趋向于X（i，m），其中i表示Xn或者Xm的第i个分量坐标，根据实数里的Cauchy列原理立即得到Xn的每一个分量坐标收敛到固定的实数，从而Xn按照度量d收敛到Rn空间上的某一点X0
