线性空间是既满足加法和数乘封闭，有复合八大运算规则的集合，集合中的向量没有度量，即向量没有夹角，长度这个概念。而欧氏空间则是内积度量空间，向量有夹角，长度之分。可以说是特殊的线性空间。欧式空间是有限维的（也有参考书上说无限维内积空间也称为欧式空间），关于内积，就可以参考课本上内积的概念来对内积有一定的理解。
欧式空间的定义:
1. 从一点向另一点可以引一条直线。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
4.1 联系
如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间。内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即线性赋范空间，完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，线性赋范空间相当于定义了长度的空间，所有的线性赋范空间都是距离空间。
以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念-向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。
4.2 区别
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间。
线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是:范数‖.‖对于一切属于X的x，y，满足
‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2 (3-3)
上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式。
Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。
欧式空间一般指欧几里德空间 欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
在很多讲述线性代数的教材中，把线性方程组的求解几乎当作一种终极目的，这必然会让读者产生对线性代数甚至对整个数学的误会，仿佛所有的数学理论都是为了求解一些特定的问题而存在。我将用两篇文章介绍关于线性空间和线性映射的基本内容，作为高中生和本科生的科普阅读。
我们熟悉的空间直角坐标系 是最直观的线性空间，它的组成元素是所谓的向量
这些向量可以做加法和数量乘法运算
这些运算满足某些特定的运算法则，例如加法的交换律、结合律。
接下来要介绍的线性空间概念将是抽象的，我们认为线性空间中的元素是向量，但是不要把向量直接和任何具体的事物做对应。
线性空间是定义在域上的，所谓域就是一种代数系统，它可以做四则运算且对四则运算保持封闭。有理数域、实数域、复数域是常见的域，比如两个有理数相加、相乘等等还是有理数，但是整数集不是域，因为两个整数相除不一定是整数。用 表示域，设
则 是线性空间是指
再给出一些线性空间的例子。首先是欧式空间
欧式空间 中的加法和数量乘法运算定义为
另外给出两个抽象的线性空间，第一个是 上的一元多项式空间
它的加法和数量乘法按照常规的四则运算定义。
第二个是区间 上的连续函数空间 它的加法和数量乘法按照函数的运算定义。
从这两个例子可以看出，线性空间中的元素没有形式上的限制，例如可以是多项式或者连续函数，我们不关心所谓的向量是什么内容，只要它在运算上满足条件就可以。
现在说明欧式空间 和多项式空间 连续函数空间 的区别，就是前者是有限维的，给出线性空间的基、维数和向量的坐标的定义。
设 是 上的线性空间，则 是 的基是指
可以证明，同一个线性空间如果有基，那么它的不同的基含有相同个数的向量。这时称 的维数是 称 在基 下的坐标是
将向量表示成坐标以后，就可以用我们最习惯的方法做向量的运算了。
欧式空间 的维数是 欧式空间 是有限维的。
有限维线性空间是一类简单的空间，这么说是因为在同一个域 上的同样维数的线性空间是同构的，也就是在线性代数的意义上可以看作是相同的。
而多项式空间 和连续函数空间 没有基，称它们是无限维的。无限维空间要比有限维空间复杂得多，在本系列文章中不讨论。
最后介绍矩阵。矩阵是一个表
我们可以把 的每一列看作是 上 维线性空间中的向量在某个基下的坐标，从而 是含有 个向量的向量组；也可以把 的每一行看作是 上 维线性空间中的向量在某个基下的坐标，从而 是含有 个向量的向量组。
特别地，我们可以把 阶方阵
看作是 维线性空间中的某个基本身，这就是为什么将它称为单位矩阵。
若 上的 阶方阵 的列向量 是线性无关的，即
则称 是可逆矩阵。这时 也成为 上 维线性空间中的一个基。至于可逆矩阵的名称由何而来，我在下一篇文章中介绍
公认比较好的还是同济大学主编的，由高等教育出版社出版的《高等数学》，分上下册，现在已经出第六版了。第六版比较的版本，更强调对基本概念的理解和掌握，对计算技巧的要求相对降低。这个主要是考虑到计算技术的进步，对数学的要求也发生了变化。
但像利用球坐标计算三重积分，斯托克斯公式作为打星号的内容是考虑现在学生学习的困难。还有像最小二乘法等内容也是这样。
假如参加考试需要靠高等数学，这本教材可以说是最好的。
矩阵，就是2*5，3*3。。。。n*m这类的矩阵，可以写成多个多项式，或者等式。
向量就是一列，多行的矩阵，即n*1类型的矩阵。
线性空间又名向量空间，它应该满足以下几个条件：
（假设x，y，z是在Rn这个空间内的向量，而且a，b是两个常数）
封闭性质
x+y也在这个空间内；
a*x也在这个空间内；
加法性质
x+y=y+x
x+(y+z)=(x+y)+z
Rn包括0向量，而且对于任意的x+0=x均成立
在这个线性空间中，任意的x向量有且只有一个-x向量与之对应
系数乘法性质
a*(b*x)=(a*b)*x
a*(x+y)=a*x+a*y
(a+b)*x=a*x+b*x
1*x=x
线性子空间
0向量在这个子空间中
x+y总是在这个子空间中
ax总是在这个子空间中
(多给些分数吧，很辛苦的。)
向量空间就是线性空间。 向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
n维向量空间设R为所有n维向量的全体（或n维向量的全体），并在其上定义了向量的加法运算和数乘运算。
线性空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
